《高等代数》考研自命题考试大纲
2020年09月28日 08:44

一、基本要求

要求考生全面系统地理解高等代数的基本概念和基本理论,熟练掌握高等代数的基本思想和基本方法。要求考生具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试范围

(一)多项式理论

一元多项式的整除性、带余除法、最大公因式、互素多项式、不可约多项式、多项式的因式分解、重因式等基本概念及其性质;多项式函数;多项式的根(重根)与它的一次因式(重因式)间的关系;多项式是否有重因式的判别法; 实、复系数多项式的不可约多项式的形式及标准分解式的形式。

(二)行列式

n阶行列式的定义、性质;行列式的子式、代数余子式及展开定理;行列式的计算方法;克莱姆法则;Vandermonde行列式;

(三)线性方程组

n维向量组的线性相关性;n维向量组的秩、向量组的等价,矩阵的秩等基本概念及性质;

Gauss消元法;线性方程组有解的判定定理;线性方程组解的结构(包括齐次线性方程组的基础解系定义、求法)。

(四)矩阵

矩阵的基本运算,矩阵的分块及常用的分块方法;矩阵的秩;

矩阵的初等变换与初等矩阵、矩阵的迹、方阵的多项式;

矩阵的逆、矩阵可逆的条件级矩阵的秩和初等矩阵之间的关系、伴随矩阵及性质;

矩阵和转置、对角阵、三角阵、单位矩阵;

用初等变换法求矩阵的秩和逆矩阵。

(五)二次型

二次型的矩阵表示;二次型的标准形与合同变换;复数域与实数域上二次型的标准形、规范形;惯性定理;实二次型、实对称矩阵正定的充分必要条件;

(六)线性空间

线性空间、子空间的定义及性质;

一些重要的线性空间实例;

基、维数与坐标;基变换与坐标变换;

一些常见的子空间,如线性方程组的解空间。

(七)线性变换

线性映射与线性变换的概念、运算;线性变换的矩阵表示;

线性变换(矩阵)的特征多项式、特征值与特征向量;线性变换的值域与核;特征子空间;

线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件,矩阵可相似对角化的方法;

(八)λ-矩阵

λ-矩阵在初等变换下的标准形,λ-矩阵的不变因子、行列式因子、初等因子以及三种因子之间的关系;

Jordan标准形的理论推导 。

(九)欧氏空间

向量内积;欧氏空间的概念及性质,度量矩阵;向量的长度、夹角、正交、距离,柯西一布涅科夫斯基不等式;

欧氏空间的度量矩阵、标准正交基;

欧氏空间的正交变换与对称变换;

对称变换与实对称矩阵用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方法。


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