《数学分析》课程考研自命题考试大纲
2020年09月28日 08:46

一、考试内容:

1. 函数、极限、连续

1)函数概念,数列,有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数,复合函数,反函数,初等函数。

2)数列极限概念,收敛数列的性质及四则运算,数列的收敛判别法,子数列。函数的极限概念,自变量趋向有限值时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,函数极限的性质,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在判别法,无穷小,无穷大,无穷小的比较。

3)函数的连续性概念,间断点及其分类,连续函数运算及其性质,闭区间上连续函数的性质。反函数的连续性与初等函数的连续性。

4)闭区间套定理,确界定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛准则。闭区间连续函数性质的证明,一致连续性。

2.一元函数的微分学

1)导数的概念,导数的几何意义,函数的可导性与连续性之间的关系。

2)导数的四则运算,复合函数的求导法则,反函数的求导法则,初等函数的导数。隐函数的求导法则,参数方程求导法则。

3)微分的定义,微分的几何意义,微分的运算法则和公式,高阶导数。

4)罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。罗必塔法则,泰勒中值定理。函数和曲线性态的分析。函数的最大值和最小值。

3. 函数的不定积分与定积分

(1)不定积分的概念与运算法则,不定积分基本公式。

(2)第一类换元积分法,第二类换元积分法,分部积分法。

(3)有理函数积分,简单无理函数积分,三角函数有理式积分。

(4)定积分的概念与性质。

(5)按照定义计算定积分,积分上限函数,定积分的基本公式,定积分的换元法,定积分的分部积分法。

(6)定积分的微元法,平面区域的面积(直角坐标情形、极坐标情形),平面曲线的弧长(直角坐标情形,参数方程的情形,极坐标方程的情形),平行截面面积为已知的立体的体积,旋转体体积, 变力作功。

4. 级数

 (1)数值级数收敛与发散的概念,收敛级数的性质。同号级数,变号级数,绝对收敛级数的性质和判别法。

(2)函数级数的收敛域,一致收敛概念,一致收敛判别法,函数列的一致收敛,和函数的分析性质。

(3)幂级数的概念和收敛域,幂级数和函数的分析性质,泰勒级数,基本初等函数的幂级数展开。

(4)傅立叶级数的概念,收敛定理。奇偶函数的傅立叶级数,周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数。

5. 多元函数微分法及其应用

(1)多元函数的概念,二元函数的极限,二元函数的连续性。

(2)多元函数偏导数,全微分,方向导数。

(3)二元函数高阶偏导数,二元函数的极值。

(4)隐函数概念,一个方程确定的隐函数,方程组确定的隐函数。函数行列式:函数行列式的概念与性质。

(5)条件极值与Lagrange乘数法。

(6)空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线。

6. 反常积分与含参变量的积分

(1)无穷积分收敛与发散的概念与性质,无穷积分的敛散性判别法。

(2)瑕积分收敛与发散的概念,瑕积分的敛散性判别法。

(3)含参变量的有限积分,含参变量的无穷积分,Γ函数与B函数。

7. 多元函数的积分学

(1)曲顶柱体的体积与二重积分,二重积分的性质,二重积分的计算,二重积分的换元,曲面面积。

(2)三重积分的概念,三重积分的计算,三重积分的换元,三重积分的简单应用。

(3)第一型曲线积分,第二型曲线积分,第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系,格林公式,曲线积分与路径无关的条件。

(4)第一型曲面积分,第二型曲面积分,奥高公式,Stokes公式。

 

二、考试要求:

1. 函数、极限、连续

1)理解函数的概念,掌握函数的四则运算和函数的图象,理解数列的概念。

2)掌握函数的奇偶性﹑单调性﹑周期性和有界性。

3)理解复合函数的概念, 反函数的概念。

4)掌握基本初等函数的性质及其图形。

5)理解数列极限的概念。

6)理解收敛数列的性质,掌握数列极限四则运算法则和数列的收敛判别法,理解子数列的概念。

7)理解函数极限的概念。

8)掌握函数极限的性质,掌握函数极限与数列极限的关系和函数极限存在判别法。

9)理解无穷小﹑无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小代替的方法求极限。

10)理解连续函数的概念。

11)理解间断点的概念,并会判别间断点的类型。

12)掌握连续函数的运算及其性质,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最值性、介值),理解反函数和初等函数的连续性。

13)理解并掌握实数连续性定理(闭区间套定理,确界原理,有限覆盖原理,聚点原理,致密性定理,Cauchy准则)。

14)理解闭区间连续函数性质的证明,理解一致连续的概念。

2 一元函数微分学

1)理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。

2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,理解反函数求导法则,掌握基本初等函数﹑双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和微分在近似计算上的应用。

3)掌握隐函数和参数式所确定的函数导数。

4)了解高阶导数与高阶微分的概念,掌握二阶导数的计算。

5)理解并掌握罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理和柯西(Cauchy)定理的证明过程。

6)会用洛必达(L’Hospital)法则求未不定式的极限。

7)理解泰勒(Taylor)定理。

8)掌握用导数判断函数的单调性和函数图形的凹凸性, 会求函数的极值和拐点,会描述函数的图形(包括渐近线)。掌握求解函数最大值和最小值的应用问题。

3、不定积分和定积分

(1)理解不定积分和定积分的概念及性质。

(2)掌握不定积分的基本公式,不定积分﹑定积分的换元法和分部积分法。

(3)掌握有理函数的积分、简单无理函数与三角函数的不定积分。

(4)理解小和与大和的概念及可积准则,掌握三类可积函数。

(5)理解并掌握定积分的性质。

(6)理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理,掌握牛顿-莱布尼兹公式。

(7)掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积﹑体积﹑弧长﹑功﹑引力等)的方法。

(8)了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)。

4、级数

(1)理解级数(函数项与数值级数)的概念,理解收敛常数项级数的性质。

(2)掌握同号级数和变号级数的判别法,掌握绝对收敛的概念及绝对收敛级数的性质。

(3)理解一致收敛的概念、掌握一致收敛判别法与和函数的分析性质。

(4)掌握幂级数与Taylor级数的概念、幂级数的收敛域与和函数的分析性质。

(5)理解幂级数的简单运算,掌握常用基本初等函数的幂级数展开。了解幂级数的应用。

(6)理解傅立叶级数的概念和收敛定理。

(7)掌握奇偶函数的傅立叶级数,会将函数(周期为2π或周期为2l)展开成傅立叶级数。

5、多元函数微分学

(1)理解坐标平面的连续性和多元函数的概念。

(2)理解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念,了解可微的几何意义,掌握复合函数微分法。

(4)理解解方向导数的概念及其计算方法。

(5)理解高阶偏导数的求法,掌握复合函数的二阶偏导数。

(6)了解二元函数的Taylor公式。

(7)理解多元函数极值和条件极值的概念,会求二元函数的极值。

(8)理解隐函数的概念和隐函数存在的判别法。

(9)掌握隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

(10)理解函数行列式的概念与性质。

(11)掌握Lagrange 乘数法和解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。。

(12)掌握隐函数存在定理在空间解析几何中的应用。

6、反常积分与含参变量的积分

(1)理解无穷积分、瑕积分与含参变量积分的概念,

(2)掌握无穷积分、瑕积分与含参变量积分的性质及判别法。

(3)理解无穷积分与级数的关系以及Γ函数与B函数。

7、 多元函数积分学

(1)理解二重积分﹑三重积分的概念,了解重积分的性质。

(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标﹑极坐标)和三重积分的计算方法(直角坐标﹑柱面坐标﹑球面坐标)。 掌握重积分的简单应用。

(3)理解两类曲线积分和两类曲面积分的概念,理解两类曲线积分以及两类曲面积分之间的关系。

(4)掌握Green公式、奥高公式和曲线积分与路径无关的条件。

(5)理解梯度、散度、旋度,微分算子和Stokes公式。


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